Représentation graphique et sens de variation

 Définition

La représentation graphique d'une suite \((u_n)\) est l'ensemble des points de coordonnées \((n~;u_n)\) lorsque \(n\) prend toutes les valeurs de `mathbb{N}` .

Représentation graphique de \(\bf{(\it{q^n}})\)

• \(\)   \(q>1\)
  

• \(q<1\)
  

Rappel   Sens de variation d'une suite

Soit  \((u_n)\)  une suite numérique définie sur  \(\mathbb{N}\) .

• Dire que la suite  \((u_n)\)  est croissante signifie que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_{n+1}\geqslant u_n\) .
• Dire que la suite  \((u_n)\)  est décroissante signifie que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_{n+1}\leqslant u_n\) .
  
• Dire que la suite  \((u_n)\)  est constante signifie que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_{n+1}=u_n\) . 
  

Propriété   Sens de variation d'une suite géométrique

Une suite géométrique \((u_n)\) de premier terme  \(u_0>0\)   et de raison  \(q>0\) est :

• strictement croissante si \(q\bf{~>1}\)  ;
  
• constante si  \(q\mathbf{~=1}\)  ;  
  
• strictement décroissante si \(q \bf{~<1}\) .
  

Exemples

1. La suite de terme général \(u_n=0{,}2\times 2{,}3^n\) est géométrique de raison \(q=2{,}3>1\) . Elle est donc strictement croissante.

2. La suite géométrique de premier terme `u_0=7` et de raison \(q=0{,}9\) est strictement décroissante car \(0{,}9<1\) .

Remarque   Le sens de variation d'une suite géométrique à termes strictement positifs ne dépend que de sa raison \(q\) .

Proposition   Seuil pour une suite géométrique

Soit \(M\) un réel strictement positif.

• Si `(u_n)` est strictement croissante, il existe un entier `n_0` tel que, pour tout  \(n \geqslant n_0\) , \(u_n>M\) .
  
• Si `(u_n)` est strictement décroissante, il existe un entier `n_0` tel que, pour tout  \(n \geqslant n_0\) ,   \(u_n.
  

Ce seuil peut être obtenu en construisant un tableau de valeurs avec le mode table de la calculatrice ou en utilisant un algorithme en Python.

Exemples

1. \(u_n=30\times 0{,}4^n\) . Déterminer le plus petit entier naturel `n_0` à partir duquel `u_n<2.`

D'après le tableau de valeurs donné par la calculatrice : `n_0=3.`

2. Soit `(u_n)` la suite géométrique de premier terme `u_0=3` et de raison `q=5` . En utilisant un programme en Python, déterminer le plus petit entier naturel `n_0` à partir duquel `u_n>10^6` .

L'algorithme de seuil s'écrit :

1           \(\texttt{def seuil():}\)
2               \(\texttt{n=0}\)
\(\) 3              \(\texttt{u=3}\)
4              \(\texttt{while u<=10**6:}\)
5                  \(\texttt{u=5*u}\)
6                  \(\texttt{n=n+1}\)
7              \(\texttt{return n}\)

L'algorithme renvoie la valeur `n_0=8` .